关于一动碰一动的一维碰撞碰后速度的推导过程
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高中物理选修3—5,在研究碰撞问题时,教材只要求掌握一维的一动碰一静的问题。但也有少数同学对两球都运动的一维碰撞比较感兴趣,自己去推导碰后速度又觉得很困难,为这个问题花费大量时间去研究好象也不行。推导过程其实只是一些数学游戏,有一定的技巧性。现在就把推导过程展示给大家。
(01)问题的提出:在一条直线上运动的两个刚性小球,它们的质量和碰前速度如图所示,试推导两小碰撞后瞬间的速度。
(02)因为是刚性小球,碰撞过程两小球组成的系统不仅动量守恒,而且机械能也守恒,列出两个守恒方程。动量守恒方程1式为矢量方程,但由于速度都是用字母表示,方向包含在字母V当中,所以可以不选取正方向。
(03)先将能量守恒方程2式化简。约掉1/2并进行如图所示的移项,然后提公因式,得到3式。操作运用的是小学初中的数学知识,想来同学们应该不会有问题。
(04)接下来对上一步得到的3式进行处理,运用平方差公式将上一步得到的等式进行展开,得到下图中的4式。
(05)接着对动量守恒方程1式进行处理,先进行移项,再提公因式,再进行移项,得到图中最下方的5式。
(06)将4式与5式进行等量代换,然后进行整理,得到关于碰前碰后各速度之间的关系式如下图6式。
(07)将6式与1式联立求解,先将第一个小球的碰后速度的表达式求出来。由得到的表达式可以知道,当V2=0时,就得到一动碰一静问题中第一个小球的碰后速度的表达式。
(08)将得到的第一个小球碰后速度的表达式再代入1式,即可得到第二个小球碰后速度的表达式。当然也可以代入2式求解第二个小球的碰后速度的表达式,但因为2式涉及到平方,使求解过程变得复杂了,没有必要舍简就繁。
(09)最后,需要对两小球的碰后速度表达式做些分析。分析两小球质量的关系对碰后速度的影响,以加深对碰后速度表达式的理解。
推导过程用到的数学知识虽然不是太难的知识,但推导过程还是比较复杂的,需要足够的细心才不会出错!
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